高一数学必刷题:利用换元法和复合函数单调性瞬间破解值域...
csdh11 2024-12-04 09:37 16 浏览
函数值域求法！复合函数单调性！
研究复合函数单调性一定要注意同增异减。比如 y 等于 f，t 等于 e，x。如果第一个函数 y 对 t 是增的，e 对 x 也是增的，则单调性相同，整体就为增。如果 y 对 t 是减的，t 对 x 也是减的，是不是单调性也相同？所以它也是增的，这叫同增。
就是两个函数单调性只要相同，整体就是增的。如果第一个函数是增，第二个是减，结果就是减。如果第一个函数是减，二函数是增，结果也是减。因为这两个单调性是相同的，所以同增异减对于 fx 而言就是一个复合函数了。
就可以拆成 y 等于二的 t 次方，t 等于什么？d 就等于 x 的平方减去 2x 加上 3，其中 x 的范围在 0 到 3 之间。在这样能不能求出 t 的范围？它就是一个二次函数，对称轴是 x 等于 1，0 到 3 之间 x 取 0，x 取 3 的时候就是 a，然后 b、c 对应的函数就是先减后增。
既然是先减后增，最小值应该在 b 点处取，所以 x 取 1 时对应的 y 是多少？带你来，是 1 减 2 加 3 等于 2。由于 a 点和 c 点离轴远，所以 c 点的纵坐标要大一些，x 取 3 时就是 6，所以 t 的范围就属于 2 到 6 之间。
二到 6 之间 y 等于二的 t 次方，t 大于等于 2，小于等于 6。由于它是一个增函数，因为以 2 为底，y 等于 a 的 x 方，当 a 大于 1 时是一个增函数这样的一个图，所以在二到 6 之间 y 就大于等于二的二次方，小于等于二的六次方。这个算完是 64，这个算完是 4，因此最后结果值域就是 4 到 64。
如果直接借助复合函数的单调性，会发现 y 等于二的 t 次方永远为增，t 等于 x 的平方减 2x 加上 3 应该在范围了，0 到 3 之间，0 到 1 上怎么样？它是减，1 到 3 上是增，因此整体根据同增异减，这两个是相异的，所以整体就在 0 到 1 上就是减的，1 到 3 上就是增的。
所以 fx 等于二的 x 方减去 2x 加上 3，0 到 1 上是减，1 到 3 上违章，所以 fx 的最小值就是 f1，带进来就是二的。一带进来二的二次方就等于 4。
fx 的最大值因为它是先减后增，就要算谁，要算两个数，一个数就是 f0，一个数就是 f3，取这两个数的最大值，谁大就取谁。按计算 f0 带进来等于几？它等于二的三次方等于 8，f3 带进来等于 64，所以它就是 64。
第二值域是 4 到 64 之间。
有人问这个专栏都讲了哪些内容？大家看一下目录就明白了。专栏包括高一数学上学期的全部内容，包括同步篇和提高篇目篇，共五百六十四课，以后就可以通关高一数学上学期的全部内容。高篇四百五十五节课，学有余力的同学选看。祝大家学习愉快。
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